Tema 4.7 Respuesta en frecuencia.

El estudio de la respuesta de un sistema a una señal oscilatoria periódica, como es el caso de una señal senoidal, se conoce como respuesta en frecuencia. Hay tres razones principales para considerar el estudio de la respuesta en frecuencia: 

1)     Muchos fenómenos naturales son de naturaleza senoidal            (vibraciones mecánicas, vibraciones electromagnéticas etc). 

2)    Cualquier señal periódica puede representarse mediante una serie de componentes senoidales.

3)  Las señales senoidales son importantes en los sistemas de comunicaciones, en la transmisión de señales potencia etc.

Cuando se aplica una entrada senoidal a un Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (LTI), éste tiende a vibrar con su propia frecuencia natural, pero también tiende a seguir a la frecuencia de la señal de entrada.  

Si el sistema es estable y hay amortiguamiento la presencia en la salida de la frecuencia  natural desaparece progresivamente de manera que en el estado estacionario la frecuencia de la respuesta es la misma que en la entrada.

La salida en Estado Estacionario permanente difiere de la entrada solamente por la amplitud y el ángulo de fase.

Así pues, para predecir la salida de un sistema LTI ante una entrada senoidal basta conocer dos términos: la relación entre la amplitud de la entrada y la amplitud de la salida  y el ángulo de fase entre la oscilación de entrada y la oscilación de salida. Ambas relaciones dependen de la frecuencia de entrada. 

El cálculo de ambas se realiza mediante un procedimiento bastante sencillo. Dado un sistema descrito por su Función de Transferencia F(s), se define la Función de Transferencia Senoidal como la expresión resultante de hacer la sustitución: s = jw 

La relación entre las amplitudes E / S para una frecuencia w₀ viene dada por la expresión:

El ángulo de fase E / S se obtiene mediante la expresión:

De esta forma, la respuesta en estado estacionario de un sistema LTI estable ante una entrada de tipo: 

vendrá dada por:

Ejemplo:

Calcular la   salida   en   Estado   Estacionario   de   un   sistema   descrito por F(s)=2/s+2 ante la señal de entrada u(t)=2*sen10t

1)- Cálculo de F ( jw )

2)- Cálculo de |F ( jw )|

como la frecuencia de la señal de entrada es 10 rad/s la relación E/S en amplitud es:

3)- Cálculo de j :

La respuesta estacionaria del sistema es:

Ejemplo en Matlab.

Este mismo resultado puede obtenerse mediante matlab con el comando evalfr. En primer lugar hay que definir el sistema:

sys=tf([2],[1 2])

Transfer function: 2

----

s+2

El comando evalfr devuelve el valor complejo de F ( jw ) al ser evaluada en una frecuencia determinada. 

» G=evalfr(sys,j*10)

G = 0.0385 - 0.1923i

A partir de estos valores solo queda obtener el módulo:

Y a continuación el ángulo de fase:

 

Como se observa, los resultados coinciden con los obtenidos anteriormente.

Lo habitual al evaluar los términos |F ( jw)| y j ( j × w) para distintas frecuencias. Los resultados pueden representarse de varias formas. }

Por una parte, suelen representarse la evolución de ambos términos por separado, frente al valor de la frecuencia. Se trata de los conocidos diagramas de bode. En este tipo de representación, el valor de |F ( jw)| suele expresarse en decibelios: 20 log( F ( jw)) . 

Los diagramas de bode pueden obtenerse fácilmente aplicando métodos manuales, no obstante, aquí se utilizará matlab para obtener dichos diagramas.

Ejemplo: (Matlab).

Determinar mediante un diagrama de bode la respuesta en frecuencia de:

Los comandos en matlab son:

sys=tf([1],[1 1 9.5])

bode(sys,w);

El resultado es la siguiente figura:

Observe que este sistema de 2º orden presenta una frecuencia en el que se alcanza una amplitud de oscilación es máxima. Este suele ocurrir con determinados sistemas.

Otra manera de estudiar gráficamente la respuesta en frecuencia es el diagrama polar. En este tipo de gráficos, se representa la evolución el número complejo F ( jw ) para cada uno de los valores que puede tomar w. Se obtiene representando en el eje de ordenadas la parte real de F ( jw ) y en el eje de accisas la parte imaginaria de F ( jw ). Matlab permite obtener fácilmente este tipo de diagramas.

Ejemplo.

Determinar mediante un diagrama polar     la respuesta en frecuencia de:

Los comandos en matlab son:

sys=tf([1],[1 1 2]) w=0:0.1:100;

[modulo(:,1),fase(:,1)]=bode(sys,w); polar(fase*pi/180,modulo);

Como puede observarse en la Figura previa, el diagrama presenta una frecuencia a la que  módulo (distancia al origen de coordenadas) es máximo. Coincide con el anterior.

El estudio de la respuesta en frecuencia es una herramienta es muy útil para el análisis de sistemas, pues permite obtener ciertas magnitudes de gran importancia, tales como el ancho de banda, el margen de fase y el margen de ganancia. La primera es de gran importancia en el diseño y estudio de equipos de comunicaciones, las dos segundas representan un elemento eficaz que determina la estabilidad relativa del sistema, siendo de gran utilidad en los procesos de control automático.

A continuación se anexan un par de vídeos donde podemos apreciar el método del Diagrama de Bode, así como otro tipo de explicación a la Respuesta en frecuencia.