En esta entrada conoceremos acerca del teorema de muestreo, tambien conocido como teorema de Nyquist-Shannon. Para comenzar, debemos conocer primero qué es el muestreo de las señales:
El muestreo de señales es otro concepto que necesitamos saber para aprender el teorema. Cuando hablamos de muestreo de señales nos estamos refiriendo a una técnica que consiste en seleccionar los valores de una señal analógica para obtener una señal discreta.
Una señal análoga varía de forma continua a través del tiempo. El arco iris, por ejemplo, se descompone de forma continua y lentamente. Una señal discreta, a diferencia de la análoga, solo tiene cantidad discretas de puntos y se puede seleccionar cualquier valor.
Entonces, el muestreo es el proceso que implica estar adquiriendo muestras a intervalos
específicos de tiempo de una señal analógica.
¿Qué es el teorema de muestreo?
El teorema de muestreo es una proposición interesante que nos indica la frecuencia, o número de veces, que se debe muestrear (seleccionar valores) una señal continua para recuperar o reconstruir una señal original de acuerdo a los puntos máximos.
Debemos de aclarar algo y es que no se trata de enumerar la cantidad de veces (cuantificación) de los valores de una señal. Más bien se busca etapas de la información que permitan recuperar o reconstruir la señal una vez que se ha perdido. Etapas donde la información no se ha perdido o no hay intervención de ruido. Recordemos que es un elemento que provoca distorsión en la señal.
MUESTREO DE UNA SEÑAL EN EL TIEMPO CONTINUO:
Sea una señal continua
x(t) limitada en banda, es decir,
X b (w)=0 para w > B
, si
tomamos muestras a intervalos T espaciadas con respecto a la frecuencia más alta de la señal
x(t) , entonces ésta se podrá reconstruir a partir de sus muestras. Para efectuar el muestreo se
puede multiplicar la señal
x(t) por un tren de impulsos unitarios en el tiempo continuo.
Calculando la Transformada de Fourier:
donde: w s : es la frecuencia de muestreo
T: el período de muestreo
Utilizando el teorema de la convolución, se encuentra que la transformada de una secuencia
discreta está dada por:
La ecuación (2.4) significa que la convolución de
X(w)
con un tren de impulsos corresponde
a la suma de repeticiones de
X(w)
centradas en cada impulso desplazado
nw s
, el teorema de
Nyquist se deduce de la figura 2.1, es decir, que las repeticiones del espectro no deben
solaparse para evitar la superposición de frecuencias.
De la figura 2.1 se observa que si:
La ecuación (2.5) corresponde al teorema del muestreo donde a la desigualdad ws > 2B
se le
conoce como frecuencia de Nyquist o de Shannon. El teorema de Nyquist garantiza que a
partir de las muestras
x(nT) para
n = 0, +- 1, +- 2, +- 3, ... se podrá reconstruir a la señal
original
x(t)de la siguiente forma:
a) Generando un tren de impulsos cuyas amplitudes son las muestras sucesivas de x(t).
b) Alimentando el tren de impulsos a un filtro paso bajas con ganancia T y frecuencia
de corte wS
, donde
B< wS < wS - B
, entonces la salida resultante será igual a
x(t) .
De la figura 2.1, se puede deducir además que el espectro de una señal muestreada tiene las
propiedades de ser: periódico, continuo y simétrico.
Uso del teorema de muestreo en Matlab
Se trabajó un sistema en matlab, donde con el uso de las graficaciones podemos observar las señales y sus frecuencias de sus señales.
Para concluir, se anexan vídeos explicativos sobre el teorema del muestreo, usando análisis de Fourier y otro enteramente en matlab, para su mas clara comprensión:
Bibliografia:
Larry Escobar Salguero. (2008). Conceptos básicos de procesamiento digital de señales. 25 de noviembre del 2021., de UNAM Sitio web: https://biorobotics.fi-p.unam.mx/wp-content/uploads/2021/04/Conceptos_Basicos_PDS.pdf
Pedro J.. (2021). TEOREMA DE MUESTREO: TODO LO QUE DEBES SABER. 26 de noviembre del 2021., de teorema top Sitio web: https://www.teorema.top/teorema-de-muestreo-todo-lo-que-debes-saber/
3.1.1. Sistemas Dinámicos y E.D. Para hablar de sistemas dinámicos lineales, primero debemos definir qué son los sistemas dinámicos y como los podemos analizar en dinámica de sistemas; Estos sistemas no son mas que sistemas cuyos parámetros internos ( o variables de estado) siguen una serie de reglas temporales. Son llamados sistemas ya que están descritos por un conjunto de ecuaciones (sistema de ec) y dinámicos porque sus parámetros varían conforme a alguna variable que regularmente es el tiempo. Los sistemas dinámicos estudian la evolución de una magnitud (que en general la representaremos como X) a lo largo del tiempo t. Dicha evolución ha de seguir una ley en forma de ecuación, y el objetivo es hallar el valor de X en cualquier tiempo t de un dominio temporal determinado, es decir X(t). Si el dominio temporal es discreto, estamos trabajando en el ámbito de la dinámica discreta; si por el contrario, el dominio temporal no es discreto, como por ejemplo un intervalo ...
La señal de entrada a un Sistema Dinámico no suele conocerse por anticipado. Además, en la mayoría de las situaciones la entrada no puede expresarse analíticamente. Sin embargo se puede disponer de señales de prueba típicas que permitan analizar el comportamiento del sistema. Las señales típicas de prueba fueron introducidas en el capítulo anterior: función escalón, función rampa, función impulso, función senoidal. Dependiendo del sistema o situación a analizar se usa con preferencia un tipo u otro de señal: · Sistemas con entradas de choque ® Función impulso · Perturbaciones Súbitas y prolongadas en el tiempo ® Función escalón · Entradas crecientes con el tiempo ® Función rampa · ...
Los Diagramas de Bloques son representaciones que permiten desarrollar esquemas para comprender más fácilmente las operaciones de control en el sistema, representando pictóricamente la función de cada elemento físico de dicho sistema. Ejemplo de un diagrama de bloques simple. Elementos de un diagrama de bloques Como pudo ser observado en el diagrama de bloque anterior, existen diferentes elementos que cumplen una determinada función dentro de un diagrama en bloques, por lo tanto inicialmente vamos a aprender a diferenciar cada uno de esos elementos de un diagrama bloques. Del diagrama anterior podemos ampliar un poco las definiciones de cada uno de los elementos: Señales: Son todas las flechas que componen el diagrama, en este caso tenemos la señal X (Señal de Entrada), señal Y (Señal de Salida) y señal E (señal de error). Se puede apreciar que cada señal únicamente posee una sola dirección y que por lo general tiene su comienzo en un elemento y...
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