Tema 4.6 Respuesta a la señal escalón.

El cálculo de la respuesta a la señal escalón se obtendrá al realizar el cálculo de la transformada inversa de la expresión: 

Consideraremos que las condiciones iniciales son nulas (con lo cual sólo hay que calcular la respuesta forzada) y que la parte real los polos es negativa (se trata por tanto     de un sistema estable).  

Dependiendo del tipo de polos el comportamiento del sistema y la respuesta temporal será de una forma u otra. A continuación se analizan los posibles casos:

A)    Existencia de dos polos reales negativos: Respuesta Sobreamortiguada. 

Este caso tiene lugar cuando el factor amortiguamiento es menor que uno ( x > 1 ).El denominador de la función de transferencia se puede escribir como el producto de dos monomios sencillos y el cálculo según la tabla de transformadas es:

Debido a que los polos no tienen parte imaginaria, la respuesta no presenta oscilaciones (ver Figura.-1.14). Este hecho queda patente al observar la expresión obtenida: una diferencia entre funciones exponenciales.

B)   Existencia de un polo real doble: Respuesta Críticamente amortiguada. Este caso tiene lugar cuando el factor amortiguamiento es igual a uno ( x = 1).

El denominador de la función de transferencia se puede escribir como el cuadrado de un monomio y el cálculo según la tabla de transformadas es:

Al igual que en el caso anterior, la respuesta no presenta oscilaciones. Realmente, el comportamiento críticamente amortiguado es un caso especial del comportamiento sobreamortiguado, con la particularidad de que la respuesta críticamente amortiguada es la más rápida de todas las sobre-amortiguadas.

C) Existencia de dos polos complejos conjugados: Comportamiento Subamortiguado. Este caso tiene lugar cuando el factor amortiguamiento es menor que uno ( x < 1 ) pero positivo. La existencia de polos con parte imaginaria determina la aparición de oscilaciones (ver Figura.-1.16). El cálculo según la tabla de transformadas es:

D)  Existencia de dos polos imaginarios conjugados: Respuesta Oscilatoria. Este caso tiene lugar cuando el factor amortiguamiento es igual a cero ( x = 0 ). Al no existir componente real la respuesta no se estabiliza y mantiene la oscilación de forma indefinida (ver Figura 1.17). En estos casos se dice que el sistema es marginalmente estable. El cálculo según la tabla de transformadas es:

Observe que la frecuencia de oscilación del sistema coincide con w_n. A esta magnitud se le llama frecuencia natural de oscilación ya que representa la frecuencia a la que oscilaría el sistema sino hubiese amortiguación.

    

4.6.2   Especificaciones temporales de sistemas subamortiguados.

Es frecuente caracterizar los sistemas subamortiguados mediante la respuesta a la señal escalón. Existen diversas relaciones entre los distinto valores que alcanza la respuesta y los parámetros que definen el sistema. De este modo, sobre una respuesta subamortiguada típica, ver Figura.-1.18, es posible definir el valor del sobreimpulso o sobreelongación máxima M, el tiempo de subida Ts, el tiempo de pico Tp y el tiempo de establecimiento Te.

Las expresiones que relacionan estos valores con los parámetros del sistema son:

Tiempo de Subida:

Sobreimpulso máximo o sobreelongación: 

Tiempo de pico: 

 Tiempo de establecimiento al 5%:

 Tiempo de establecimiento al 2%: 

El tiempo de establecimiento representa el tiempo que necesita el sistema para que la diferencia entre el valor de la señal y el valor límite en estado estacionario difieran un porcentaje determinado. 

Por ello se definen dos tiempos de establecimiento: Te₅ cuando la señal está a menos de un 5% del valor final; Te₂ cuando está a menos de un 2%. Igualmente suele definirse un termino similar para sistemas críticamente amortiguados, cuya expresión es:

Tiempo de establecimiento amortiguación crítica al 5%:

Tiempo de establecimiento amortiguación crítica al 2%:

4.6.3  Puntos de Equilibrio en sistemas de 1^er Orden

De la ecuación del modelo de estado se deduce que el punto de equilibrio es:

Ha de quedar claro que, para que el análisis de este apartado tenga sentido, el valor de la entrada ha de ser nulo o constante en el tiempo.

Dado que hay dos variables de estado, el espacio de estados es de dimensión dos, en      este caso recibe el nombre de plano de estado. En consecuencia, la evolución temporal      del sistema determinará una trayectoria en el plano de estado. La forma de dicha trayectoria dependerá de los valores iniciales y del tipo de punto de equilibrio. 

Dado un sistema, el dibujo de distintas trayectorias a partir de diversas condiciones iniciales recibe el nombre de retrato de estado. El retrato de estado de un sistema es una herramienta de análisis importante pues proporciona una idea global de cómo se comportará el sistema sean cuales sean las condiciones iniciales.

En el caso de un sistema de segundo orden lineal, es muy fácil caracterizar los seis tipos de retratos de estado posible. En primer lugar. Si el sistema presenta dos polos reales negativos, el retrato representa una configuración de nodo estable (ver Figura.- 1.19). Las trayectorias convergen al punto de equilibrio estable ( si los dos polos fueran iguales, las curvas se convertirían en rectas, se trataría de un sistema críticamente amortiguado). 

En el caso de que el sistema presente dos polos con parte real negativa y parte imaginaria, el retrato de estado está formado por espirales que convergen al punto de equilibrio, esta configuración se denomina foco estable ( ver Figura.-1.20). Las espirales representan las oscilaciones del sistema subamortiguado. 

Si el sistema presenta dos polos imaginarios conjugados, el retrato de estados muestra una configuración de centro. Aparecen trayectorias cerradas alrededor del punto de equilibrio. El tamaño de las trayectorias depende de las condiciones iniciales, lo cual coincide con el comportamiento de un sistema marginalmente estable, en el que la elongación de la oscilación depende de las condiciones iniciales consideradas.

En el caso de que el sistema presente un punto de equilibrio inestable, pueden diferenciarse tres casos diferentes.Si los polos son reales de signo diferente, el retrato representa un punto de equilibrio en silla de montar. Observe en la Figura.-1.22 como hay una trayectoria que converge al punto de equilibrio, mientras las demás divergen del mismo. No obstante, esta trayectoria es en realidad una trayectoria inestable, ya que cualquier desviación de la misma produce un alejamiento del punto de equilibrio. 

Si el sistema presenta dos polos complejos conjugados con parte real positiva el retrato nos muestra una configuración de foco inestable (ver Figura.-1.23). Las trayectorias divergen del punto de equilibrio en forma de espiral. Evidentemente la respuesta temporal presenta un comportamiento divergente oscilatorio.

Por último, cabe la posibilidad de que el sistema presente dos polos reales positivos. En este caso el retrato de estados presenta una configuración de nodo inestable como el que se muestra en la Figura.-1.24

Para terminar el subtema, se anexan un par de videos de YouTube, dónde se aprecian ejemplos de señales escalón, tanto a mano como en MATLAB.