Tema 4.4 Análisis de la respuesta transitoria de un sistema de primer orden.

Se utilizará como ejemplo de sistema de primer orden un sistema formado por un termómetro que esta a una temperatura ambiente qa y se le sumerge en un baño con temperatura qa + qb (ver figura). 

Considérese que el sistema está linealizado (ver apartado 2.4 en el tema 2) en torno a la temperatura ambiente qa  y que la diferencia instantánea de la temperatura respecto al ambiente es q (t ) así que en t = 0 q (0) = 0 . 

En general, los valores de los parámetros térmicos de un sistema se encuentran distribuidos a lo largo de las sustancias. Para un análisis preciso hay que recurrir a modelos de parámetros distribuidos.  No obstante, para simplificar el análisis, se supondrá que es posible representar las características térmicas del sistema mediante un modelo de parámetros concentrados.  

Se considera que el sistema termómetro-líquido está caracterizado por una resistencia térmica R ( medida en grados por vatio) que se opone al flujo de calor w_i (medido en julios por segundo), y el termómetro está caracterizado por su capacidad térmica C ( medida en julios por grado) que indica la energía calorífica necesaria para que el termómetro aumente su temperatura un grado.  Por tanto, ya que la temperatura alcanzada por el termómetro depende de la energía calorífica acumulada y ésta, a su vez, varía con el flujo de calor entrante w_i, es posible escribir:  

Además, el flujo de energía calorífica depende de la diferencia de temperatura entre el termómetro y el líquido, es decir:

En consecuencia es posible escribir la siguiente ecuación diferencial: 

la cual representa un sistema de primer orden. Está claro que    el modelo de estado coincide con esta misma ecuación. La función de transferencia es:

4.4.2 Respuesta a la señal escalón.

Considérese el caso en que la temperatura del baño se mantiene constante o sea qb = cte y el termómetro se deja sumergido en el líquido a partir de t = 0 . La constante de tiempo     del sistema se define como t = RC .

Se trata de encontrar la respuesta cuando la señal de entrada responde a la señal escalón:

Como q (0) = 0 solo hay que considerar la respuesta forzada

Dado que qb (t ) = q _bu(t ) se trata de una Función Escalón:

Por tanto

Haciendo la Transformada Inversa de Laplace:

Se comprueba que en t = 0 q (0) = (1 - e⁰ )q = 0 

y el valor final para t: 

El valor en equilibrio se alcanza cuando dq/dt =0 por lo tanto sustituyendo en la ecuación diferencial  qe = qb. Lo cual coincide con el resultado de aplicar el teorema del valor final. 

La gráfica que representa el resultado obtenido es la siguiente:

Una de las características más importantes es que para  t = t q (t ) = 0,632q b ; o sea se alcanza el 63.2% de la temperatura final. 

Si el sistema hubiese tenido condiciones iniciales no nulas q (0) habría que haber considerado el calculo de la respuesta libre:

Observa cómo dependiendo de si las condiciones iniciales están por encima o por debajo del punto de equilibrio, la respuesta obtenida es creciente o decreciente

Es necesario destacar que todas las consideraciones hechas hasta ahora se basan en suponer que los polos del sistema -1/t es negativo, y por lo tanto, el sistema es estable. En el caso de no ser así, nos encontraríamos ante un sistema inestable. En este caso, dependiendo de las condiciones iniciales, el sistema actuaria como un circulo virtuoso si el valor inicial es mayor que el punto de equilibrio y como un circulo vicioso si el valor inicial está por debajo del punto de equilibrio, como en la figura siguiente. 

Tema 4.4.2    Puntos de Equilibrio en sistemas de 1er Orden.

De acuerdo con todo lo expuesto, el punto de equilibrio del sistema de lineal de primer orden:

Es fácil estudiar la estabilidad del punto de equilibrio al representar la variación de la derivada de x (dx/dt) respecto de x.  La gráfica obtenida es una recta , donde el punto de equilibrio viene determinado por el corte con el eje de ordenadas. Si el valor de A es mayor que cero, dicha gráfica se corresponde con una recta de pendiente positiva ver Figura.-1.12. 

Es posible analizar la naturaleza estable o inestable del punto de equilibrio a partir de dicha gráfica. En efecto, si el sistema parte de una condición inicial x(0) mayor que el punto de equilibrio, la gráfica proporciona un valor dx/dt > 0 lo que supone que el sistema tenderá a hacer x cada vez mayor, siendo repelido del punto de equilibrio. Si se da el caso de que la condición inicial es menor que el punto de equilibrio la gráfica asocia un valor dx/dt < 0 lo que significa que el valor de x tenderá a hacerse cada vez menor;  de nuevo el punto de equilibrio actúa como repulsor.  Por tanto, nos encontramos ante un caso de equilibrio inestable. Este resultado es consecuente con el análisis de estabilidad realizado con anterioridad. Basta con encontrar la ecuación característica de la ecuación diferencial para comprobar que si A >0 el polo es real positivo y por tanto, se trata de un sistema inestable.

Por el contrario, si A<0 la gráfica que se obtiene es una recta de pendiente negativa ( ver Figura.-1.12). En este caso, si el sistema parte de una condición inicial mayor que el punto de equilibrio, la gráfica proporciona un valor dx/dt < 0 lo que supone que el sistema tenderá a hacer que x se acerque cada vez más al punto de equilibrio, es decir atraído hacia él. Si se da el caso de que la condición inicial es menor que el punto de equilibrio la gráfica proporciona un valor dx/dt > 0, lo que significa que, de nuevo, el valor de x tenderá a acercarse cada vez más al punto de equilibrio;el punto de equilibrio actúa como un atractor. Por tanto, nos encontramos ante un caso de equilibrio estable. Observe que la estabilidad o inestabilidad no dependen del valor de B. Dicho valor sólo determina, junto con A, cuál será el punto de equilibrio. La estabilidad solo depende de A.

A continuación se presenta un vídeo de YouTube donde se nos muestra un análisis de la respuesta transitoria y estacionaria. de un sistema de primer orden: