Tema 3.6 Ecuación característica.

 La fórmula de la ecuación característica es:

dónde:

Donde el aumento de p puede hacerse variar con el tiempo mediante diferentes funciones, observando la influencia de las diferentes formas de perturbación sobre el sistema. El modelo se ha aplicado con la nomenclatura especifica del caso.

Comparando la ecuación general con el caso particular es posible determinar los coeficientes a para el caso del manómetro. Es posible apreciar la fuerte influencia de la naturaleza de líquido contenido en el manómetro, a través de su viscosidad y densidad. 

Ecuación característica en Matlab:

Para obtener el lugar de las raíces de un sistema, a continuación, se debe determinar su ecuación característica, la cual es de la forma:

Para obtener el lugar de las raíces, MatLab dispone del comando rlocus. Las diferentes sintaxis para utilizar este comando son:

rlocus(NUM,DEN) calcula y dibuja el lugar de las raíces cuando se trabaja con la función de transferencia donde NUM y DEN son los vectores de los coeficientes en potencia descendiente de S de los polinomios del numerador y denominador de la función de transferencia G(S). MatLab generará automáticamente un conjunto de valores de la ganancia K.

rlocus(NUM,DEN,K): calcula y dibuja el lugar de las raíces cuando se trabaja con la función de transferencia y ha sido previamente definido el rango de valores de K. Por ejemplo de 0 a 100 con incrementos de 10: k=0:10:100

R = rlocus(NUM,DEN,K) o [R,K] = rlocus(NUM,DEN) no dibuja el lugar de las raíces pero almacena en la matriz R, de longitud igual al número de elementos de K, la localización de las raíces. R tendrá tantas columnas como raíces existan, estas pueden además ser complejas.

rlocus(A,B,C,D), R=rlocus(A,B,C,D,K), o [R,K]=rlocus(A,B,C,D) son equivalentes a las sintaxis anteriores pero empleando las matrices de estado para hallar el lugar de las raíces.

Para la siguiente forma modificada de la ecuación característica de un sistema se desea hallar el lugar de las raíces mediante MatLab:

>>num=[0,0,0,1];

>>den=[1,3,2,0];

>>rlocus(num,den)

MatLab dispone del comando rlocfind que permite determinar los polos del sistema para una valor determinado de k. Su sintaxis es:

[K,POLES] = rlocfind(num,den) permite determinar los polos para un valor determinado de k, cuando se trabaja con la función de transferencia. Por medio del curso en el lugar de las raíces se selecciona una localización, Matlab retorna el valor de k para esta localización y los polos asociados a esta ganancia.

Cuando se trabaja con las matrices de estado, las sintaxis para el comando rlocfind es: [K,POLES] = rlocfind(A,B,C,D).

Al ejecutar el comando rlocfind con la función de transferencia anterior, MatLab activa la ventana de figuras en espera de que el usuario seleccione un punto del lugar de las raíces mediante el cursor. En este caso el punto seleccionado fue -2.4623 en la parte real y - 0.0132 en la parte imaginaria.

» [k,poles]=rlocfind(num,den)
Select a point in the graphics window
selected_point =
-2.4623 - 0.0132i
k =
1.6655
poles =
-2.4625
-0.2688 + 0.7773i
-0.2688 - 0.7773i

Para seleccionar el punto en el cual calcular los polos del lugar de las raíces sin usar el cursor se agrega un parámetro al comando rlocfind. Este debe ser el punto o los puntos en donde se desea tomar el valor de k. La nueva sintaxis es: [K,POLES] = rlocfind(A,B,C,D,P) o [K,POLES] = rlocfind(num,den,P). P debe definirse previamente indicando la parte real e imaginaria del mismo. Por ejemplo: P=3+0i o P=1-0.555i.

A continuación anexamos un video de YouTube sobre la ecuación caractetistica y otra forma de llegar a ella.

Fuentes de información:

1) Flores, Antonio - Respuesta dinámica de segundo orden - Departamento de Ciencias, Universidad Iberoamericana - México - Enero 2002

2) Martín García, Juan - Teoría y Ejercicios Prácticos de Dinámica de sistemas - "Estudio de los movimientos oscilatorios", desarrollado por Claudio M Enrique.

http://www.upv.es/visor/media/25060ec1-3934-b74a-bb81-4c146afc0e75/c