Tema 3.7 Filtros Digitales.
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| Ejemplo de un diagrama de filtro digital |
Principios de los Filtros Digitales:
Los filtros digitales operan sobre las señales que representan al sonido, transformando sus muestras
a través de un algoritmo, y convirtiéndolas en nuevas secuencias numéricas cuyas características
son distintas a las originales (señal filtrada).
Existen diversas clasificaciones de los filtros. Básicamente, podemos distinguir cuatro tipos: pasa
bajos, pasa altos, pasa banda y rechazo de banda.
El filtro pasa bajos, como su nombre lo indica, deja pasar las componentes más graves del sonido, y
retiene a las componentes agudas cuya frecuencia es superior a la frecuencia de corte del filtro. Su
versión más elemental se obtiene sumando a una señal digital una copia de sí misma, retrasada en
una muestra. Este proceso se representa a través del siguiente diagrama.
La señal de entrada se representa como x(n) –se lee x de n- que es el modo de referirnos a una forma
de onda cualquiera, cuyos valores de amplitud para cada muestra dependen del número de muestra
considerado (n). Este tipo de notación no dice nada sobre el contenido de la señal, pero nos permite
nombrarla y diferenciar, por ejemplo, una señal de otra. Siguiendo este criterio, denominamos y(n) a
la señal de salida filtrada, que es distinta a x(n).
La caja con la inscripción z
-1 se denomina línea de retardo y representa a un dispositivo capaz de
retrasar en una muestra a la señal de entrada. Cuando ingresa a la línea la primera muestra no sale
nada (en realidad, sale un cero), cuando ingresa la segunda sale la primera, y así sucesivamente. La
cantidad de muestras que se retrasa la señal se indica con el exponente negativo (-1 en el ejemplo),
el cual puede asumir cualquier valor (z
-24 significa un retraso de 24 muestras).
Siguiendo el diagrama y resumiendo, ingresa al filtro una señal x(n) que se suma a una versión
retrasada en una muestra de sí misma, y da como resultado otra señal filtrada y(n).
Lo mismo puede representarse en notación simbólica, de este modo:
Resulta difícil imaginar cómo es posible que el resultado obtenido a través de esta operación sea el
de un filtro pasa bajos. Para tratar de comprenderlo vamos a hacer pasar señales sinusoidales de
distintas frecuencias por nuestro filtro básico y observar qué sucede. En los gráficos que siguen,
vemos la señal original (x(n), roja) y la retrasada (x(n - 1), negra), que sumadas dan la resultante
(y(n), verde).
Tipos de filtrados digitales:
Implementados en el dominio de la frecuencia
(usando FFT)
O Dada x(n), se calcula su FFT X(u) la cual se
multiplica por un kernel y al resultado se le
obtiene su FFT inversa .
O No pueden usarse en “tiempo real”mplementados en el dominio del tiempo.
O
Pueden usarse en tiempo real
O Hay de dos tipos:
O Por convolución (FIR)
O Recursivos (IIR)
Filtros FIR y Filtros IIR
Los filtros que se implementan con convolución
realizan sumas de multiplicaciones ponderadas entre
la señal y el kernel. La respuesta al impulso de este
tipo de filtros es finita, por lo que se conocen como
filtros FIR (Finite impulse response)
También se pueden diseñar filtros usando
ecuaciones recursivas del tipo;
La respuesta en amplitud de un filtro FIR está formada por depresiones o anti-resonancias, que constituyen los ceros del filtro. Cada cero corresponde a un coeficiente bi distinto de 0, para i mayor que 0 (b1, b2, b3 ...). Un filtro FIR siempre es estable, dado que no existe recursividad.
A diferencia del filtro FIR, el IIR (por Infinite Impulse Response, respuesta infinita al impulso)
consta sólo de una parte recursiva, o bien de ambas, recursiva y no recursiva, como el que se
observa en la figura 5. Cada término de la ecuación en diferencia que manifiesta una realimentación
(cada coeficiente ai distinto de 0) conforma un polo del filtro, y produce un pico de resonancia en la
respuesta en amplitud.
Respuesta a impulso y función de transferencia de un filtro.
Definimos al impulso como una señal digital (u(n)) cuya primera muestra vale 1, y todas las
siguientes valen 0.
Esta señal se caracteriza por poseer un espectro que cubre todas las frecuencias del rango audible de
forma constante.
Si ingresamos un impulso a un filtro obtenemos su respuesta a impulso, señal que suele
identificarse como h(n). En situaciones normales, la respuesta a impulso se aproxima a cero a
medida que el tiempo transcurre, y decimos en ese caso que el filtro es estable. Caso contrario, si la
señal aumenta su amplitud con el tiempo, decimos que el filtro es inestable.
Consideremos, a modo de ejemplo, el siguiente filtro recursivo de primer orden, y observemos qué
sucede al ingresar un impulso:
Podemos, entonces, definir al impulso como una señal discreta cuya primera muestra es unitaria y
todo el resto nulo, que se representa como u(n). El impulso posee una respuesta plana en frecuencia,
y su utilización nos permite evaluar el comportamiento de un sistema, tanto en los aspectos
temporales como espectrales por su brevedad, y porque posee energía en todas las frecuencias del
rango audible.
Si registramos un sonido impulsivo en un determinado ambiente –producido por un disparo, por
ejemplo- el recinto responderá a ese estímulo con múltiples reflexiones y una coloración espectral
particular. Efectuando la convolución entre la respuesta a impulso de la sala h(n) y otra señal x(n),
grabada de un instrumento musical al aire libre por ejemplo, obtendremos un resultado similar al del
instrumento ejecutando en ese ambiente y(n). En este caso, hemos evaluado a la sala como si se
tratara de un filtro.
donde h(n) es la respuesta a impulso, o sea la señal que egresa del filtro al ingresar un impulso, y el
símbolo * representa a la operación de convolución.
La siguiente ecuación define a la convolución lineal, que es útil cuando la respuesta a impulso
contiene pocas muestras.
Es posible pasar de una respuesta a impulso h(n) (una forma de onda representada en el dominio del
tiempo) a una función de transferencia H(k) (un espectro representable en el dominio de la
frecuencia) utilizando la Transformada Discreta de Fourier (DFT, por Fourier Discrete Transform).
Según se observa, reemplazamos la variable n (número de muestra de una señal en el dominio del
tiempo) por la letra k (número de muestra de una señal en el dominio de la frecuencia) a fin de
distinguirlas.
La función de transferencia describe la relación entre la entrada y la salida de un filtro a través de
Podemos entonces definir a la función de transferencia como la relación entre el espectro de Fourier de la señal de salida y el de la señal de entrada, y dicho de otro modo, como el espectro de la respuesta a impulso del filtro. Ella nos informa en qué medida varía la amplitud y la fase de cada una de las componentes de la señal que a él ingresa.
Implementación de filtros digitales (notch) en Matlab:
Figura de la señal con el filtro aplicado:
A continuación se presentan dos videos de Youtube para reforzar el subtema visto, el primero siendo una introducción a los filtros digitals (que ya hemos repasado aqui brevemente) y el segundo siendo un poco mas extenso y especeifico en cuantro a filtros FIR.
Bibliografia:
Dr. Pablo Cetta. (2019). FILTROS DIGITALES. 09 de diciembre del 2021., de Plablocep Sitio web: https://www.pablocetta.com/pdfs/publicaciones/filtros.pdf
https://es.mathworks.com/help/signal/filter-design.html
https://es.mathworks.com/help/signal/digital-and-analog-filters.html
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