Tema 4.1 Efecto de los polos en el comportamiento.

Como se describió en el tema anterior, la función de transferencia que caracteriza un sistema puede ser descompuesta en fracciones parciales, donde el denominador de cada una de las fracciones es un monomio con el polo correspondiente:

De esta forma, la respuesta del sistema a una señal determinada puede considerarse como la suma de las respuestas de cada uno de las fracciones obtenidas en la descomposición:

Este hecho cobra un especial interés ya que solo pueden presentarse cinco tipo de polos o grupos de polos conjugados, complejos conjugados con parte real negativa y complejos conjugados con   parte real negativa ).

Por tanto, si previamente se ha hecho un estudio de la respuesta que presenta cada uno de estos cinco tipos de polos; dado un sistema y sus polos correspondientes, será muy sencillo estimar, sin realizar ningún tipo de simulación o cálculo, el comportamiento final del mismo.

A continuación se presentan el tipo de respuesta de cada uno de los tipos de polos a la señal escalón :

Polos Reales:

Cuando la función de transferencia presenta polos reales, en la descomposición en fracciones aparecen términos en la forma:

 

Los dos casos posibles son p > 0 o p < 0;

En el caso de ser p > 0 (el polo es positivo), considerando como entrada la señal escalón se obtendrá una respuesta como la mostrada en la Figura a continuación presentada:

En el caso de ser p < 0 (el polo es negativo), la respuesta a la función escalón es la presentada en la Figura:

Los razonamientos matemáticos que justifican las respuestas obtenidas se presenta en las siguientes secciones. Por ahora, cabe resaltar que cuando aparecen polos reales negativos, el sistema presenta una tendencia a estabilizarse alrededor de un valor determinado, por tanto, de acuerdo a lo expuesto en los primeros temas, el sistema contendrá algún bucle de realimentación negativo. Por el contrario, si tiene polos reales positivos, el sistema presenta una tendencia al crecimiento exponencial, lo cual significa que contendrá algún bucle de realimentación positivo.

Polos Imaginarios conjugados:

Cuando la función de transferencia presenta un par de polos imaginarios conjugados, en la descomposición en fracciones aparecen términos en la forma:

En este caso, para la señal escalón se obtendrá una respuesta como la mostrada en la Figura.-1.4.

Como puede observarse se trata de una oscilación mantenida. Ya se verá más adelante que la frecuencia de dicha oscilación coincide con w. Por tanto, cada vez que aparezcan una pareja de este tipo de polos el sistema presentará un comportamiento oscilatorio.

Polos complejos conjugados:

Por último la función de transferencia puede presentar polos que tengan parte real e imaginaria. Aparecen también en parejas de conjugados en la forma:

En este caso, el comportamiento del sistema será una combinación del efecto de parte real y de la parte imaginaria.

Cabe señalar dos casos. En el primero p < 0, la respuesta es como la que se muestra en la figura:

Dado que el sistema presenta parte real negativa, tenderá a estabilizarse alrededor de un valor determinado, pero como el polo tiene parte imaginaria, dicha tendencia presentará un comportamiento oscilatorio. En consecuencia el sistema contendrá algún bucle de realimentación negativo que presenta comportamiento oscilatorio.

El segundo caso se presenta cuando p > 0, la respuesta es como la que se muestra en la figura:

En este caso, debido a la parte real positiva, el sistema presentará un bucle de realimentación positiva con comportamiento oscilatorio.

A continuación se presentan dos vídeos relacionados con el subtema 4.1 del efecto de los polos en el comportamiento de los sistemas de control, así como un calculo de ejemplo, para repasar las formulas aquí vistas: