Para hablar de sistemas dinámicos lineales, primero debemos definir qué son los sistemas dinámicos y como los podemos analizar en dinámica de sistemas; Estos sistemas no son mas que sistemas cuyos parámetros internos ( o variables de estado) siguen una serie de reglas temporales. Son llamados sistemas ya que están descritos por un conjunto de ecuaciones (sistema de ec) y dinámicos porque sus parámetros varían conforme a alguna variable que regularmente es el tiempo.
Los sistemas dinámicos estudian la evolución de una magnitud (que en general la representaremos como X) a lo largo del tiempo t. Dicha evolución ha de seguir una ley en forma
de ecuación, y el objetivo es hallar el valor de X en cualquier tiempo t de un dominio temporal determinado, es decir X(t). Si el dominio temporal es discreto, estamos trabajando
en el ámbito de la dinámica discreta; si por el contrario, el dominio temporal no es discreto,
como por ejemplo un intervalo real (ya sea acotado o no acotado), estamos trabajando en
el ámbito de la dinámica continua
* Por ejemplo, la ecuación:
determina la ley que marca la evolución de X (nos dice que el valor de X en un instante
es la suma del valor de X en los dos instantes inmediatamente anteriores) dentro de un
sistema dinámico discreto, ya que los valores que toma t son discretos. Por el contrario, la
ecuación:
determina una ley dentro de un sistema dinámico continuo, ya que t toma cualquier valor
real no negativo.
La primera ecuación es una ecuación en diferencias, y la segunda es una ecuación diferencial ordinaria. Existen otros tipos de ecuaciones que determinan un sistema dinámico:
las ecuaciones integrales, como por ejemplo:
las ecuaciones diferenciales con retrasos, como por ejemplo:
en donde aparece X y sus derivadas pero evaluadas en distintos instantes de tiempo; o, si la
magnitud X depende de otras variables además de t, las ecuaciones en derivadas parciales,
como por ejemplo:
en donde X es función de t, x, y. No obstante, nosotros solamente vamos a estudiar los dos
primeros tipos de ecuaciones. Ademas, X será una magnitud real, es decir, sus valores serán
números reales.
A continuación, se presenta un vídeo con fines educativos de Youtube, sobre la introducción a los sistemas dinámicos, para reforzar lo aprendido:
3.1.2. Funciones de transferencia (ejemplo en software Matlab).
Como sabemos, una función de transferencia no es más que un modelo matemático cuyo cociente se relaciona la respuesta de algún sistema con una señal de entrada o excitación. Matlab nos permite que los distintos modelos puedan ser convertidos entre si, de modo que, por ejemplo, se pueda obtener la forma factorizada de la función de transferencia cero-polo-ganancia, partiendo de la forma de cociente de polinomios.
Para la introducción de funciones de transferencia polinómicas se utiliza la
función “sys=tf(num,den)” del modo que a continuación se indica:
Primer ejemplo:
Introducir en Matlab la función de transferencia polinómica siguiente:
Si ingresamos los datos anteriores en la ventana de comandos, nos dará como resultado la siguiente función de transferencia:
RESPUESTA TRANSITORIA A UNA ENTRADA ESCALÓN E IMPULSO
Para visualizar gráficamente la respuesta transitoria a una entrada escalón e impulso se procede
como a continuación se indica:
ESCALÓN:
La función a utilizar es la función: “step(sys)”
Ejemplo 2:
Obtener la respuesta transitoria de la función de transferencia polinómica del
Ejemplo 1, con una entrada escalón:
IMPULSO: La función a utilizar es la función: “impulse(sys)”
Ejemplo 3:
Obtener la respuesta transitoria de la función de transferencia polinómica del
Ejemplo 1 con un impulso como entrada:
APLICACIÓN DE LAS INSTRUCCIONES VISTAS AL CASO DE LAS FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA DE SEGUNDO ORDEN
La Función de Transferencia de lazo cerrado de sistemas de Segundo Orden adopta la forma
siguiente:
Ejemplo 4:
Obtener la respuesta transitoria de la función de transferencia polinómica de
Segundo Orden con un escalón y un impulso como entrada:
A continuación, se presentarán un par de vídeos para repasar lo aprendido sobre las funciones de transferencia, de primer y segundo orden:
Bibliografia:
Anónimo. (2015). INTRODUCCIÓN AL MATLAB – CLASE 1. 06 de noviembre del 2021., de Facultad de Ingeniera de Buenos Aires. Sitio web: http://materias.fi.uba.ar/6722/matlabclase1.pdf
Anónimo. (2017). Análisis sistemas dinámicos lineales. 07 de noviembre del 2021., de docsity Sitio web: https://www.docsity.com/es/analisis-sistemas-dinamicos-lineales/5974519/
La señal de entrada a un Sistema Dinámico no suele conocerse por anticipado. Además, en la mayoría de las situaciones la entrada no puede expresarse analíticamente. Sin embargo se puede disponer de señales de prueba típicas que permitan analizar el comportamiento del sistema. Las señales típicas de prueba fueron introducidas en el capítulo anterior: función escalón, función rampa, función impulso, función senoidal. Dependiendo del sistema o situación a analizar se usa con preferencia un tipo u otro de señal: · Sistemas con entradas de choque ® Función impulso · Perturbaciones Súbitas y prolongadas en el tiempo ® Función escalón · Entradas crecientes con el tiempo ® Función rampa · ...
Los Diagramas de Bloques son representaciones que permiten desarrollar esquemas para comprender más fácilmente las operaciones de control en el sistema, representando pictóricamente la función de cada elemento físico de dicho sistema. Ejemplo de un diagrama de bloques simple. Elementos de un diagrama de bloques Como pudo ser observado en el diagrama de bloque anterior, existen diferentes elementos que cumplen una determinada función dentro de un diagrama en bloques, por lo tanto inicialmente vamos a aprender a diferenciar cada uno de esos elementos de un diagrama bloques. Del diagrama anterior podemos ampliar un poco las definiciones de cada uno de los elementos: Señales: Son todas las flechas que componen el diagrama, en este caso tenemos la señal X (Señal de Entrada), señal Y (Señal de Salida) y señal E (señal de error). Se puede apreciar que cada señal únicamente posee una sola dirección y que por lo general tiene su comienzo en un elemento y...
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