Tema 4.2 Estabilidad.

 Definición de Estabilidad:

Pueden encontrarse distintas definición   es que establecen el concepto de estabilidad.

Dependiendo del modelo de representación utilizado (representación externa o interna) la definición se hará de un modo u otro. En cualquier caso, el resultado al caracterizar la estabilidad de un sistema debe ser equivalente para cualquiera de los criterios utilizados.

Cuando se utiliza un modelo de representación externa se suele utilizar el concepto de estabilidad BIBO ( Bounded Imput Bounded Output).

Definición: " Un sistema inicialmente en reposo es estable si para cualquier señal de entrada      acotada la respuesta del sistema es acotada. "

Coincidiendo con los resultados presentados en la sección anterior, es posible afirmar que la condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable es que todos los polos de su Función de Transferencia tengan parte real negativa.

De esta forma , hallando las raíces de la Ecuación Característica se puede estudiar si el sistema es estable o no.

Si por el contrario, el sistema se analiza utilizando un modelo de estado, la estabilidad se caracteriza a partir del concepto de punto de equilibrio.

Definición: " Sea la ecuación de estado   x& = g( x, f ) , se denomina estado de equilibrio x_e a la configuración que cumple:  x& = g( xe , f ) = 0                                                      "t . "

Observemos que la definición de punto de equilibrio se hace para sistemas autónomos, es decir, la función de entrada f y en consecuencia g no dependen explícita-mente del tiempo.

 

Por tanto, para determinar los punto de equilibrio de un sistema habrá que considerar las entradas constantes o, en todo caso, expresadas como función explicita del vector estado.

La forma de encontrar los puntos de equilibrio consiste en igualar el modelo de estado a cero y establecer que valores del vector estado satisfacen dicha ecuación. De forma genérica resolver este tipo de ecuaciones no es sencillo si se trata de sistemas no lineales. 

En estos casos suelen usarse métodos numéricos que permiten aproximar la solución o soluciones. Cuando se trata de sistemas lineales, está claro que el punto de equilibrio se obtiene de:

Lo cual representa un sistema lineal de ecuaciones al que es posible aplicar las técnicas clásicas de resolución matricial. Esta claro pues que en un sistema L.T.I hay un solo estado de equilibrio si la matriz [A] no es singular. 

Esta afirmación no es extensible a los sistemas no lineales, para los que puede darse el caso de existir, incluso, infinitos puntos de equilibrio. Este último hecho justifica la aparición de una extensa y rica colección de comportamientos cuando se consideran no linealidades, lo que contrasta con los sistemas lineales para los que es posible establecer un limitado número de comportamientos. 

Es posible caracterizar la estabilidad a partir de los punto de equilibrio:

Definición: " Se dice que un estado de equilibrio x_e es global y asintóticamente estable, si para un valor de la entrada constante o cero, toda solución converge asintóticamente hacia x_e al incrementar indefinidamente la variable tiempo ( t ). "

En el caso de un sistema lineal es muy fácil caracterizar si el punto de equilibrio es  estable o no:

Condición de estabilidad sistema lineal: 

"Un estado de equilibrio de un sistema L.T.I es asintóticamente estable si los autovalores de la matriz A tienen parte real negativa. (salvo cancelación interna de polos)."

Los autovalores de la matriz [A] son las raíces de la ecuación:

det (I·s-A) = 0

Como se vio en el tema anterior, esta ecuación se corresponde con la ecuación característica del sistema, o lo que es lo mismo, la ecuación resultante de igualar a cero el denominador de la función de transferencia. Por tanto es inmediato establecer que los autovalores de la matriz [A] son los polos de la función de transferencia que representa el sistema; lo cual es lógico, pues de todo lo expresado hasta ahora se podía intuir que un sistema con un punto de equilibrio inestable presentará un comportamiento inestable según el criterio BIBO.

Los puntos de equilibrio estable suelen denominarse atractores, ya que las trayectorias del sistema en el espacio de estado suelen converger hacia dichos puntos tal y como si fueran atraídos por los mismos. Por el contrario, los puntos de equilibrio inestables suelen denominarse repulsores ya que las trayectorias en el espacio de estados suelen alejarse de ellos, tal y como si fueran repelidos por dichos puntos.

Test de estabilidad.

La forma más sencilla de determinar la estabilidad de un sistema es pues estudiando las raíces de su ecuación característica. Desde el software educativo de Matlab esto representa una tarea muy sencilla:

Ejemplo:

Sea la ecuación característica :s³+ 4·s²+100·s + 500 encontrar sus raíces. Con el comando: Pol = [ 1 4 100 500] introducimos el polinomio.

Las raíces se encuentran con: root(pol) la respuesta del sistema:

ans = 0.4060 +10.1854i

0.4060 -10.1854i

-4.8120

También es fácil conocer los polos del sistema si este viene representado por un modelo de estado, basta con encontrar los autovalores de la matriz [A].

Ejemplo:

Sea el sistema cuya matriz de transición [A] es de la forma:

encontrar los polos del sistema.

A=[1 0 0;2 -3 0;0 1 -1];Los polos son los autovalores de la matriz, que se calculan con el comando: eig(A), la respuesta del sistema es:

ans =

-1

-3

1

A continuación se presenta un conocido algoritmo que permite determinar si un polinomio presenta polos con parte real positiva. Es conocido con el nombre de Criterio de Routh-Hurwitz.

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

Se trata de un procedimiento algebraico para determinar su un polinomio tiene algún cero en el semiplano derecho, lo que implicaría la inestabilidad del sistema.

De forma general se supone el polinomio:

El Criterio establece:

1-     Si un coeficiente es negativo o cero cuando al menos uno de los otros coeficientes es positivo entonces existe una raíz en el semiplano derecho o es imaginaria. En dicho caso el sistema es inestable y el algoritmo acaba aquí.

2-  Si todos los coeficientes están presentes, son reales y positivos entonces se sigue así: 

     2.1- Se ordenan coeficientes de la siguiente manera:

2.2- Se obtienen luego filas adicionales de coeficientes:

Los cálculos se continúan en cada fila hasta que se produzca algún coeficiente igual a cero. Todas las filas se calculan siguiendo el mismo procedimiento, cuando sea necesario, se añade un cero al final de una fila. El conjunto completo de los coeficientes es triangular. 

La estabilidad se evalúa observando la primera columna: 

- Si todos los coeficientes de la primera columna tienen el mismo signo, el sistema es estable. 

- Si se producen n cambios de signo, entonces, existen n raíces en el semiplano derecho. 

- Si aparece una fila entera de ceros indica que existen raíces en el eje imaginario o en el de signo opuesto en el eje real.

-Si en alguna fila el primer término es cero mientras que las demás no, se por un valor arbitrario, se continúa el algoritmo según el procedimiento habitual y luego se evalúan todos los términos para:

                                                                        e ® 0 .

 

Ejemplo:

Sea la ecuación característica s ³ + 4s² + 100s + 500 = 0

La aplicación del algoritmo da como resultado:

1º- El sistema es inestable ( no todos los coeficientes tienen el mismo signo). 

2º- Tiene dos raíces en el semiplano derecho (Observar que hay dos cambios de signo, de positivo a negativo y de negativo a positivo).

Ejemplo:

Sea la ecuación característica s ³ + 10s² + 16s + 160 = 0

La aplicación del algoritmo produce:

El sistema presentará pues o un comportamiento oscilatorio o inestable.

Para determinar si las raíces son conjugadas imaginarias o presentan parte real positiva se utiliza un polinomio auxiliar formado por los coeficientes de la última fila no nulos (Polinomio Auxiliar F (s) = 10s ² + 160 = 0 ). 

A continuación se sustituyen los coeficientes de la fila nula por los coeficientes obtenidos al derivar dicho respecto a s, Y luego continúa el algoritmo según el procedimiento habitual.

Según lo anterior el sistema no presenta raíces con parte real positiva, por lo tanto presenta un par de raíces imaginarias conjugadas. En efecto, basta con utilizar matlab para obtener las raíces : Raíces : -10 ; -4j; +4j 

Ejemplo:

Sea la ecuación característica s⁵ + s⁴ + 4s³ + 4s² + 2s + 1= 0

La primera fila presenta un cero en su primer elemento. Este se sustituye por e y se continúa el algoritmo en su forma habitual.

Para e ® 0 la primera columna es: 1 1 - ¥ 1 1 

Hay dos cambios de signo, por lo tanto hay dos raíces con parte real positiva. De hecho, Si se resuelve el problema con matlab se comprueba que las raíces son:

0.0365 + 1.8708i ; 0.0365 - 1.8708i ;

-0.7981; -0.1374 + 0.5822i ;-0.1374 - 0.5822i

El algoritmo de Routh-Hurwitz con frecuencia se utiliza se utiliza para evaluar la influencia de un parámetro sobre la estabilidad del sistema.

Ejemplo:

Evaluar    los    valores    de    k    para    los    que   la    ecuación    característica:

s³ + 2s² + s + k = 0     presenta polos estables.

Aplicando el algoritmo:

Si el sistema es estable no debe haber cambios en la primera columna. Para el caso de la tercera fila:

Para el caso de la cuarta fila: 2 k > 0.

Por tanto, el sistema es estable para: 

A continuación , anexamos una serie de vídeos en youtube donde podamos apreciar otros conceptos acerca de la estabilidad, su análisis, sus ecuaciones y diagramas.