Tema 4.8 Análisis de comportamientos.

En el caso de considerar sistemas lineales, el análisis de comportamientos es muy sencillo. Existen tres comportamiento posibles: Estable, Oscilatorio e Inestable.

En el caso de que el sistema sea estable, debe existir una estructura de realimentación negativa dominante, que hace que el sistema converja siempre al punto de equilibrio estable.

El sistema presentará un comportamiento oscilatorio siempre que haya una realimentación negativa dominante que presente polos imaginarios puros. En este caso, el punto de equilibrio presentará una configuración de centro y la respuesta temporal se mantiene oscilando continuamente sin amortiguación.

Cuando el sistema presenta un comportamiento inestable existirá una estructura de realimentación positiva dominante, dependiendo de las condiciones iniciales el sistema se comportará como un circulo vicioso o como un círculo virtuoso.

Es muy importante resaltar que siempre que se consideren sistemas lineales, existe         uno y solo un punto de equilibrio. Pueden existir múltiples bucles de realimentación negativa y positiva, pero siempre dominará una realimentación negativa o una positiva que determinará la naturaleza estable o inestable del sistema. 

En cambio, en los sistemas no lineales, es posible la existencia de más de un punto de equilibrio, esto tiene varias e importantes consecuencias. En primer lugar puede suceder que coexistan bucles de realimentación de distinta naturaleza, sin que ninguno domine de forma completa. Un ejemplo se presenta en la ecuación logística (ver sección 2.3.2 del tema 2) donde se produce la alternancia de dominio de un bucle sobre otro. Además, en muchos casos ya no es posible hablar de sistemas estables de forma global ya que es posible la coexistencia de puntos de equilibrio estable con puntos de equilibrio inestable. En efecto, este hecho se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Estudiar los puntos de equilibrio del sistema:

Si se utiliza la representación del plano    de fase (velocidad del estado  frente a estado) puede observarse cómo existen dos puntos de equilibrio correspondientes a aquellas configuraciones donde se cumple dx/dt=0. Como se aprecia en la Figura.-1.27, cualquier condición inicial situada a la derecha de los puntos de equilibrio tendrá asociada una velocidad negativa que hará que el sistema converja hacia el primer punto de equilibrio.

Si la condición inicial está situada entre los dos puntos de equilibrio, la velocidad asociada a esta configuración será positiva, con lo cual el sistema es repelido por el segundo punto de equilibrio y atraído por el primero. Finalmente Si la condición inicial se encuentra a la izquierda del segundo punto de equilibrio la velocidad asociada a esa condición inicial será negativa y el sistema será repelido por el punto de equilibrio. De esta forma, es fácil comprobar que el sistema presenta un punto de equilibrio estable y un punto de equilibrio inestable. La misma conclusión podría haberse obtenido de forma más rigurosa utilizando una técnica de linealización. Como se ve en la Figura.-1.27, si el sistema se linealiza alrededor del primer punto de equilibrio, se obtiene una recta de pendiente negativa, lo cual implica un comportamiento estable, sin embargo, si se linealiza alrededor del segundo punto de equilibrio, se obtiene un recta de pendiente positiva que está asociada a un comportamiento inestable.

Las no linealidades permiten modelar comportamientos complejos como los que se aprecian en la vida cotidiana. Así, a partir de un modelo lineal de segundo orden y considerando fenómenos no lineales sencillos como el efecto de saturación, ha sido posible explicar el mecanismos de diferenciación celular en organismos complejos a partir de células inicialmente homogéneas. Es el llamado fenómeno de la morfogénesis estudiado por Turing y Prigogine ( Aracil y Gordillo, 1999). 

Fenómenos más complejos pueden ser estudiados mediante modelos nolineales, así, en las últimas décadas se han realizado esfuerzos en el estudio de los ciclos límtes (que representan oscilaciones automantenidas, ver Figura.-1.28), y en la aparición de fenómenos caóticos.

Los sistemas caóticos presentan como característica que en lugar de un punto de equilibrio atractor presentan una zona atractora llamada atractor extraño. La característica principal de estos sistemas es la hipersensibilidad a las condiciones iniciales. Lo que Lorenz expresó con el conocido término de efecto mariposa.