Tema 2.2 Transformada Laplace y Transformada Z.
¿Qué es la transformada de Laplace?
Es la herramienta creada por Pierre-Simon Laplace que es de gran alcance formulada para dar solución a una amplia variedad de problemas del inicial - valor. Usa como estrategia transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente.
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| Pierre-Simon Laplace, creador de la transformada de Laplace |
La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t = 0, es la función F(s), definida por:
Propiedades de la transformada de Laplace.
Transformada de Laplace Bilateral: Se define la transformada de Laplace Bilateral de una señal continua x(t) como:
Donde s es una variable compleja. En sí, la transformada de Laplace bilateral de una señal continua es una función analítica en cierto dominio, que se denomina región de convergencia.
Transformada de Laplace Unilateral: Sea x(t) una señal continua. Sedefine la Transformada de Laplace Unilateral de x(t) como:
Donde s es una variable compleja. En sí, la transformada de Laplace Unilateral de una señal continua es una función analítica en cierto dominio, que se denomina región de convergencia.
Ejemplo en youtube de otra interpretación de la Transformada de Laplace.
La Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.
La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define
-Transformada Z unilateral
De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n = 0, la transformada Z unilateral se define como
-Transformada Z inversa.
Definimos la transformada Z como:
La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier(DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.
Propiedades de la transformada Z.
Linealidad. Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z], entonces:
Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z]
siendo a1 y a2 constantes arbitrarias.
Desplazamiento temporal. Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene :
Ejemplo:
Considere la ecuación en diferencia y[n]-1/2y[n-1]=d[n] y la condición inicial y[-1]=3. Halle y[n] para n³0.
Solución
Tomando transformada Z a ambos lados de la ecuación, y usando la propiedad de desplazamiento temporal, se tiene:
Y[Z]-1/2Z-1(Y[Z]+y[-1]Z)=1
Por tanto:
Usando la tabla de transformadas, se tiene que: y[n]=5/2(1/2)n
Ejemplo - Transformada Z
Encuentre el valor inicial de una secuencia X[n] cuya transformada Z es:
Se puede observar que X[n]=U[n]
Teorema del Valor final. Sea X[n] una secuencia causal. El valor final de X[n], esto es, el valor de X[n] a medida que n tiende a infinito se puede dar por la siguiente expresión:
Siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n tiende a infinito.
Vídeo explicativo de la transformada Z: conceptos y ejemplos básicos.
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