Tema 1.1 - Conceptos Preliminares.
1.1.1 Sistemas
Un sistema es un objeto complejo cuyas partes o componentes se
relacionan con al menos alguno de los demás componentes, ya sea conceptual o material. Todos los sistemas tienen composición, estructura y
entorno, pero solo los sistemas materiales tienen mecanismos (o procesos), y
solo algunos sistemas materiales tienen figura (forma).
Dentro de la ingeniería de sistemas, un sistema de control es un conjunto de
dispositivos encargados de administrar, ordenar, dirigir o regular el
comportamiento de otro sistema, con el fin de reducir las probabilidades de
fallo y obtener los resultados deseados.
Los
componentes de sistema son:
· - Entradas: Datos, información, insumos que
ingresan al sistema.
· - Procesos: Cambios que se producen a las entradas
para generar salidas, resultados del sistema.
· - Salidas: Resultados de los procesos realizados en
el sistema.
Clasificación
de los sistemas de control:
Sistema
de control de lazo abierto:
Es aquel sistema en el cual la salida no tiene efecto sobre el sistema de control, esto significa que no hay realimentación de dicha salida hacia el controlador para que éste pueda ajustar la acción de control.
Sistema
de control de lazo cerrado:
Son
los sistemas en los que la acción de control está en función de la señal de salida;
es decir, en los sistemas de control de lazo cerrado o sistemas de control con
realimentación, la salida que se desea controlar se realimenta para compararla
con la entrada (valor deseado) y así generar un error que recibe el controlador
para decidir la acción a tomar sobre el proceso, con el fin de disminuir dicho
error y por tanto, llevar la salida del sistema al valor deseado.
1.1.2 Señales
· señal de control:
·
señal de analógica:
Es una
señal continua en el tiempo
·
señal de salida:
Es la
variable que se desea controlar (posición, velocidad, presión, temperatura,
etc.) También se denomina variable controlada.
·
señal de digital:
Es una señal que sólo
toma valores de 1 y 0.
1.1.3 Modelos
Modelo matemático.
Un modelo matemático es una representación simplificada, a través de ecuaciones, funciones o fórmulas matemáticas, de un fenómeno o de la relación entre dos o más variables.
¿Para qué sirve un modelo matemático?
Los modelos matemáticos son utilizados para analizar la relación entre dos o más variables. Pueden ser utilizados para entender fenómenos naturales, sociales, físicos, etc. Dependiendo del objetivo buscado y del diseño del mismo modelo pueden servir para predecir el valor de las variables en el futuro, hacer hipótesis, evaluar los efectos de una determinada política o actividad, entre otros objetivos.
1.1.4 Construcción de los Modelos Matemáticos
Al aplicar las leyes físicas a un
sistema específico, es posible desarrollar un sistema matemático que describe
el sistema, los cuales deben evaluarse mediante pruebas reales. Algunas veces
las leyes físicas que gobiernan el comportamiento de un sistema no están
completamente definidas y la formulación de un modelo matemático puede resultar
imposible. Cuando es así se puede utilizar un modelo experimental. En este
sistema se somete a un conjunto de entradas conocidas y se mide el sistema. A
partir de las entradas y salidas se determina el modelo matemático.
Cuando se intenta construir un
sistema matemático, se debe establecerse un equilibrio entre la simplicidad del
modelo y la exactitud de los resultados
de análisis.
Para facilitar la obtención de un modelo, mediante una computadora, se debe incluir una ecuación y se realizan operaciones aritméticas para construir un modelo exacto, pero muy complicado. Si no se requiere de una exactitud extrema, es conveniente construir un modelo razonable simplificado.
Cuando se resuelve un problema
nuevo, usualmente conviene primero construir un modelo simplificado, para
obtener una idea general en torno a la solución. Posteriormente puede
construirse un modelo más detallado y usarlo para un análisis más complejo.
Ningún modelo matemático puede
representar cualquier componente o sistema físicos con precisión, siempre se
involucran aproximaciones o suposiciones.
Tales aproximaciones y suposiciones restringen el nivel de validez del
modelo matemático.
Procedimiento
para la elaboración de modelos matemáticos
1.
Dibujar un diagrama esquemático del sistema y definir las variables.
2. (1) Utilizando leyes físicas, escribir ecuaciones para
cada componente, combinándolos de acuerdo con el diagrama del sistema y obtener
un modelo matemático.
3. (2) Para verificar la validez del modelo, la predicción acerca del funcionamiento obtenida, al resolver las ecuaciones del modelo, se comparan con resultados experimentales. Si los resultados experimentales se alejan de la predicción en forma considerable debe modificarse el modelo. Entonces se obtiene un nuevo modelo y nuevas predicciones se comparan con datos experimentales. El proceso se repite hasta que se tiene una concordancia satisfactoria entre la predicción y los resultados experimentales.
1.1.5 Clasificación de los Modelos Matemáticos
Los modelos matemáticos son expresiones
matemáticas que describen
las relaciones existentes entre las
magnitudes características del sistema.
Los modelos matemáticos pueden ser:
Sistemas de
ecuaciones
·
Inecuaciones
·
Expresiones lógico-matemáticas
Sistemas de
ecuaciones
·
Inecuaciones
·
Expresiones lógico-matemáticas
-Sistemas de
ecuaciones
-Inecuaciones
-Expresión lógico
matemáticas
Categorización de los modelos matemáticos
A. Tiempo continuo vs Tiempo discreto
Un modelo matemático
se dice de tiempo continuo cuando las variables y las relaciones entre ellas
están definidas para todo instante de tiempo (en el intervalo de validez o
definición del modelo).
En cambio, para los
modelos matemáticos de tiempo discreto (de
sistemas muestreados); modelos
matemáticos de tiempo continúo discreteados a los efectos de
su resolución numérica.
B.
Estáticos vs Dinámicos
Si existe un vínculo
instantáneo entre las variables, el modelo se dice
estático (ecuaciones con
expresiones algebraicas, trascendentes,
o funciones en general).
Si el vínculo
entre las variables
requiere no solo
su valor presente sino también de sus
valores pesados, el modelo se dice dinámico (ecuaciones diferenciales / en diferencias con el
tiempo como variable absoluta)
C. Determinísticos vs Estocásticos
Un modelo determinístico si expresa matemáticamente sin incertidumbre las
relaciones entre variables. Un modelo es
estocástico si expresa
las relaciones con incertidumbre entre las
variables mediante conceptos probabilísticos usando variables
aleatorias. Dichas relaciones son
descritas usando variables o procesos estocásticos.
D. Parámetros distribuidos vs Parámetros
concentrados
Si un modelo
matemático conserva la dependencia espacio-temporal en la representación matemática de dichas
magnitudes, el modelo se dice de parámetros distribuidos, ya que en general los
coeficientes o parámetros del sistema están Distribuidos en el espacio.
Se tiene un
modelo a parámetros
concentrados cuando se
reemplaza la dependencia
espacial de las
variables por su promedio en la región del
espacio donde están
definidas. El espacio desaparece como variable absoluta del modelo y
los parámetros pasan a ser variables por
su promedio en la región del espacio donde están definidas. El espacio
desaparece como variable absoluta del
modelo y los
parámetros pasan a ser
variables extensivas del modelo, se concentran en la región en cuestión
E. Paramétricos vs No paramétricos
Los modelos
paramétricos se caracterizan
completamente con un número finito de parámetros. Por ejemplo, una
función transferencia o una ecuación diferencial.
Los modelos no paramétricos
no pueden caracterizarse
completamente como un numero
finito
de parámetros. Por ejemplo, la curva de la respuesta a un
escalón de un sistema dinámico.
F. Lineales vs No lineales
En los modelos
lineales vale el principio de
superposición (causas superpuestas como distintas entradas y/o condiciones
iniciales) originan la
superposición de los
correspondientes efectos.
En los modelos no
lineales el principio de superposición no vale.
G. Estacionarios vs Inestacionarios
Un modelo es
estacionario si responde
al principio de desplazamiento temporal, es decir, toda
acción sobre el sistema produce el mismo efecto (la
misma respuesta del sistema)
independientemente del momento en que comienza a ejercerse, si en
ese momento el
sistema se encuentra
en las mismas condiciones.
1.1.6 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo
Sistemas
lineales
Una ecuación lineal e
invariante en el tiempo es aquella que en la cual una variable dependiente y
sus derivadas aparecen como combinaciones lineales. Ejemplo de una ecuación
lineal invariante en el tiempo.
Puesto que los
coeficientes de todos los términos con constantes una ecuación diferencial
lineal invariante en el tiempo también se denomina ecuación lineal de
coeficientes constantes.
Sistemas no lineales
Los sistemas no lineales son aquellos que se representan mediante ecuaciones no lineales. Aunque las relaciones físicas con frecuencia se representan mediante ecuaciones lineales, en muchos casos las relaciones reales en muchos casos puede que no sean de todo lineales.
En un sistema no
lineal la característica más importante es que es que el principio de
superposición no es aplicable. En general todos los procedimientos para
encontrar la solución de problemas que involucran tales sistemas son
extremadamente complicados. A causa de la dificultad matemática que representan
los sistemas no lineales, con frecuencia es necesario realizarlos alrededor de
una condición de operación. Una vez que
un sistema no lineal se aproxima mediante un modelo matemático lineal, se deben
usar términos lineales para propósitos de análisis y diseño.
Vídeos acerca del tema...
A continuación, y a manera de alimentación, se anexan vídeos para la comprensión del tema de conceptos preliminares.
Bibliografía
|
[1] |
K. Ogata, Dinamica de sistemas, Estado me Mexico :
PRENTICE-HISPANOAMERICANO , 1987. |
|
[2] |
J. R. Martinez, «Modelos matematicos y clasificacion,» 20
Septiembre 2020. [En línea]. Available: https://www.udocz.com/mx/apuntes/212108/ensayo-definicion-y-clasificacion-de-modelos-matematicos.
[Último acceso: 04 Noviembre 2021]. |
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